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一、问题描述

给定 n 件物品，物品的重量为 w[i]，物品的价值为 c[i]。现挑选物品放入背包中，假定背包能承受的最大重量为 V，问应该如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大

二、解决思路

物品是不能拆分的，首先想到的是动态规划，将背包问题分为两个子问题，求解子问题的最优解。回溯法可以解决这个问题，将所有的解罗列出来，叫做解空间，然后在每个解空间上，判断每个物品是否加入背包，每个物品相当于一个节点，加入和不加入相当于两条路，具体是看走哪条路。

01背包.png

在向下递归查找最优解的过程中，主要看两个函数，一个是当前路能够走，另一个就是当前路走下去是不是最优解。分别叫做限界条件、减枝函数，这两个函数的好坏影响算法的效率。

三、代码

public class MapColoring {

public static void main(String[] args) {

//邻接矩阵存储图 0代表相连否则不相连

int[][] adjacencyMatrix = new int[][]{

{0, 1, 1, 1, 0, 0, 0},

{1, 0, 1, 0, 1, 0, 0},

{1, 1, 0, 1, 1, 0, 0},

{1, 0, 1, 0, 1, 0, 1},

{0, 1, 1, 1, 0, 1, 1},

{0, 0, 0, 0, 1, 0, 1},

{0, 0, 0, 1, 1, 1, 0},

};

//记录所有的结果

int[][] allResult = new int[adjacencyMatrix.length][adjacencyMatrix.length];

int[] currentValue = new int[adjacencyMatrix.length];

coloring(adjacencyMatrix, allResult, 0, currentValue, 3, 0);

for (int i = 0; i < allResult.length; i++) {

System.out.println(Arrays.toString(allResult[i]));

}

}

/**

* 地图着色

*

* @param adjacencyMatrix 邻接矩阵

* @param allResult 所有的结果集

* @param i 当前点

*/

public static int coloring(int[][] adjacencyMatrix, int[][] allResult, int i, int[] currentValue, int color, int resultIndex) {

/**

* 判断当前节点的着色

* 循环已经着色的点 ,如果相连则判断能否着色当前颜色

* 循环颜色

*/

if (i > adjacencyMatrix.length - 1) {

//将当前结果保存到全部结果中

for (int j = 0; j < currentValue.length; j++) {

allResult[resultIndex][j] = currentValue[j];

}

resultIndex += 1;

return resultIndex;

}

for (int j = 1; j <= color; j++) {

// 记录当前节点的颜色尝试

if (isOk(adjacencyMatrix, j, currentValue, i)) {

// 当前节点染色j

currentValue[i] = j;

//向下递归 如果这条路最终能走到叶子节点，则会加入到allResult

resultIndex = coloring(adjacencyMatrix, allResult, i + 1, currentValue, color, resultIndex);

//由于这里是for循环尝试其他的道路，所以不用手动回溯，下次currentValue[i] = j; 会将本次循环值覆盖，直到达到叶子节点保存结果

}

}

return resultIndex;

}

/**

* 判断当前节点是否可以进行找色

* 循环已经作色的点 当相邻再判断颜色是否相等

*

* @param adjacencyMatrix 邻接矩阵

* @param colorIndex 判断的颜色

* @param currentValue 当前值列表

* @param i 当前节点

* @return

*/

public static boolean isOk(int[][] adjacencyMatrix, int colorIndex, int[] currentValue, int i) {

for (int j = 0; j < i; j++) {

if (adjacencyMatrix[j][i] == 1) {

if (currentValue[j] == colorIndex) {

return false;

}

}

}

return true;

}

四、优化空间