梯度：运算对象是标量，计算结果是向量

计算梯度时会在每个位置都计算出一个向量，这个向量的方向是当前位置周围的标量值最小点指向标量值最大点（这个周围其实是极其接近的，相当于取极限），而向量的大小就是上面最小标量与最大标量的差距。

想象给山求梯度，山上每个点都有一个向量，每个向量都指向最陡的方向，向量大小代表这个最陡的方向有多陡。

散度：运算对象是向量，计算结果是标量

散度考察向量场中任何一个点及其周围极小极小的一块区域，在该点上，这个极小区域向量场的发散程度。

【其实梯度和散度都是一种基于 local 的量，考察的都是任何一点及其周围很小很小的一个范围】

散度是作用在向量场的一个算子，通过对一个向量场计算散度，能够得到一个标量场，也就是说，在向量空间中每一点的散度都是一个标量。

散度表征的是向量场的 发散程度

• 散度 > 0，表明向量场向外发散
• 散度 = 0，表明向量场内外平衡
• 散度 < 0，表明向量场向内聚集

图像散度

图像的梯度就是一个向量场，因此就可以计算图像梯度的散度，常用于图像去噪中。

假设一幅图像为 $I(x,y)$，它的梯度算子：

用散度算子构造一个扩散方程，实际就是求梯度场的散度：

这个扩散方程就可以用于图像去噪。计算图像梯度的散度意义就是：比较图像上的每个点的散度，如果比周边高，那就减少它，如果比周边低，那就拉高它，总之就是起到了平滑图像的作用。但是由于它是各向同性的均匀扩散方程，导致图像上所有细节均匀模糊，去噪效果很糟糕。

Perona和Malik在90年代初发现，由于图像边缘往往处在梯度值较大的点处，如果扩散方程在梯度值较大的区域减速扩散，在梯度值较小的区域加速扩散，则可以在着重去噪的同时保护图像有用细节。他们修改后的扩散方程就是有名的 P-M 方程：

其中函数g是一个递减函数，保证随图像梯度模值增大函数值递减，起到只在图像平滑区域（小梯度点）猛烈扩散的作用。

对一幅图像求两次梯度得到的 $I_{xx}$ 和 $I_{yy}$ 的和就是散度。

% 生成7×7整数型的矩阵
z = randi(7,7);
[zx,zy] = gradient(z);
div = divergence(zx,zy);[zx_x,zx_y] = gradient(zx); 
[zy_x,zy_y] = gradient(zy);
% divergence(zx,zy) =zx_x + zy_y
res = zx_x + zy_y - divergence(zx,zy);

参考

散度 WiKi
如何直观形象的理解梯度，散度，旋度？
求图像的梯度和散度