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一、证明题

1． 设

则

为独立的随机变量序列，证明:若诸服从大数定律.

所以由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

2． 设X 为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明:

【答案】由于其中

代回原式即得证.

3． 若

【答案】因为

，证明:

.

•，所以得

由此得

结论得证.

4． 设

是来自

的样本，的密度函数为

的方差

一致有界，即存在常数c 使得

【答案】因为

存在，所以级数绝对收敛，从而有

已知，试证明，是

于是

，的有效估计，

从而也是UMVUE.

【答案】总体

所以的费希尔信息量为

，这就是说

又

这就证明了

5． 设

证明【答案】

是

的有效估计，从而也是UMVUE.

诸

是充分统计量. 的联合密度函数为

注意到

是已知常数，令

取

由因子分解定理，

6． 设

是

的充分统计量.

独立，

是已知常数，

的任一无偏估计的C 一R 下界为

独立同分布，其共同的密度函数为

(1)证明:(2)计算

和

和

的均方误差并进行比较；

都是的无偏估计；

的估计中，

，故

最优.

，

(3)证明:在均方误差意义下，在形如【答案】 (1)先计算总体均值为. 这说明是的无偏估计. 又总体分布函数为

，

记

，则Y 的密度函数为

于是有

这表明

也是的无偏估计.

故有

又

从而

由于(3)对形如

，因此在均方误差意义下，的估计有

优于

，故

»

因此当在形如

7． 设

【答案】一方面

另一方面

时，上述均方误差最小. 所以在均方误差意义下，

的估计中，

，证明:

最优.

(2)无偏估计的方差就是均方误差. 由于