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前置知识：

• 按行分块和按列分块

定理　矩阵 $\mathbf{A}=\mathbf{O}$ 的充分必要条件是方阵 ${\mathbf{A}}^T\mathbf{A}=\mathbf{O}$。

证明　必要性是显然的，下面证明充分性。

设 $\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{m\times n}$，把 $\mathbf{A}$ 按列分块为 $\mathbf{A}=({\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_n)$，则
$${\mathbf{A}}^T\mathbf{A}=\left(\begin{array}{c}{\mathbf{\alpha }}_1^T\\ {\mathbf{\alpha }}_2^T\\ ⋮\\ {\mathbf{\alpha }}_n^T\end{array}\right)({\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_n)=\left(\begin{array}{cccc}{\mathbf{\alpha }}_1^T{\mathbf{a}}_1& {\mathbf{\alpha }}_1^T{\mathbf{a}}_2& \cdots & {\mathbf{\alpha }}_1^T{\mathbf{a}}_n\\ {\mathbf{\alpha }}_2^T{\mathbf{a}}_1& {\mathbf{\alpha }}_2^T{\mathbf{a}}_2& \cdots & {\mathbf{\alpha }}_2^T{\mathbf{a}}_n\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ {\mathbf{\alpha }}_n^T{\mathbf{a}}_1& {\mathbf{\alpha }}_n^T{\mathbf{a}}_2& \cdots & {\mathbf{\alpha }}_n^T{\mathbf{a}}_n\end{array}\right)$$
即 ${\mathbf{A}}^T\mathbf{A}$ 的 $(i,j)$ 元为 $a_i^T{a}_j$，因 ${\mathbf{A}}^T\mathbf{A}=\mathbf{O}$，故
$${\mathbf{a}}_i^T{\mathbf{a}}_j=0(i,j=1,2,\cdots ,n)$$
特殊地，有
$${\mathbf{a}}_j^T{\mathbf{a}}_j=0(j=1,2,\cdots ,n)$$
而
$${\mathbf{a}}_j^T{\mathbf{a}}_j=(a_{1j},a_{2j},\cdots ,a_{nj})\left(\begin{array}{c}{a}_{1j}\\ a_{2j}\\ ⋮\\ a_{nj}\end{array}\right)=a_{1j}^2+a_{2j}^2+\cdots +a_{nj}^2=0$$
因为 $a_{ij}$ 为实数，有 $a_{ij}^2\ge 0$，所以
$$a_{1j}=a_{2j}=\cdots a_{nj}=0$$
即
$$\mathbf{A}=\mathbf{O}$$